Cinemática en una dimensión - Tiro vertical

Se arroja verticalmente hacia arriba una pelota imprimiéndole una velocidad v = 60,0 m/s

a) ¿Qué altura máxima alcanza

b) ¿En qué tiempo?

c) ¿Qué tiempo demora en alcanzar los 100 m y que velocidad tiene en ese instante?

d) ¿Cuánto demora en retornar al punto de partida?

e) ¿Con qué velocidad regresa al punto de partida?

f) ¿Qué altura alcanza al tercer segundo?

Resolución:

La pelota experimenta MRUV debido a la gravedad:

$\Large{Y_{f}=Y_{i}+v_{yi}t-\frac{1}{2}gt^2}$

$\Large{v_{yf}=v_{yi}-gt}$

b) Tiempo que tarda en llegar al máximo:

$\Large{v_{yf}=0\Rightarrow t=\frac{v_{yi}}{g}=\frac{60\frac{m}{s}}{9.8\frac{m}{s^2}}=6.12s}$

a) Altura máxima que alcanza la pelota:

$\Large{Y_{f}=Y_{i}+v_{yi}t-\frac{1}{2}gt^2}$

$\Large{Y_{f}=(60\frac{m}{s})(6.12s)-\frac{1}{2}(9.8\frac{m}{s^2})(6.12s)^2=337.21m}$

c) Tiempo en llegar a los 100m:

$\Large{100m=(60\frac{m}{s})t-\frac{1}{2}(9.8\frac{m}{s^2})t^2}$

Resuelvo para t:

$\Large{t=2s}$

Velocidad en los 100m:

$\Large{v_{yf}=(60\frac{m}{s})-(9.8\frac{m}{s^2})(2s)}$

d) Tiempo para retornar al punto de partida:

$\Large{0=(60\frac{m}{s})t-\frac{1}{2}(9.8\frac{m}{s^2})t^2}$

Resuelvo para t:

$\Large{t=12.24s}$

e) Velocidad al volver al punto de partida:

$\Large{v_{yf}=(60\frac{m}{s})-(9.8\frac{m}{s^2})(12.24s)=-59.95\frac{m}{s}}$

f) Altura a un tiempo t=3s:

$\Large{Y_{f}=(60\frac{m}{s})(3s)-\frac{1}{2}(9.8\frac{m}{s^2})(3s)^2=135.9m}$

Cinemática en dos dimensiones - Tiro parabólico

Un patio de juego está en el techo plano de una escuela, 6.00 m arriba del nivel de la calle. La pared vertical del edificio tiene 7.00 m de alto y forma una barda de 1 m de alto alrededor del patio. Una bola cae en la calle y un peatón la regresa lanzándola en un ángulo de 53.0° sobre la horizontal a un punto 24.0 m desde la base de la pared del edificio. La bola tarda 2.20 s en llegar a un punto vertical sobre la pared.

a) Encuentre la rapidez a la que se lanzó la bola.

b) Encuentre la distancia vertical sobre la que libra la pared.

c) Encuentre la distancia desde la pared al punto en el techo donde aterriza la bola

Resolución

Eje X: Movimiento Rectilineo Uniforme

$\Large{X_{f}=X_{i}+v_{xi}.t}$

$\Large{v_{xf}=v_{xi}}$

 Eje Y: Movimiento Rectilineo Uniformemente Variado

$\Large{Y_{f}=Y_{i}+v_{yi}.t-\frac{1}{2}gt^2}$

$\Large{v_{yf}=v_{yi}-gt}$

a) 

$\Large{v_{xi}=\frac{X_{f}-X{i}}{t}=\frac{24m-0m}{2.20s}=10,91\frac{m}{s}}$

$\Large{|\vec{v_{i}}|=\frac{v_{xi}}{\cos{\theta}}=\frac{10.91\frac{m}{s}}{\cos{53º}}=18.12\frac{m}{s}}$

b)

$\Large{Y_{f}=Y_{i}+v_{yi}.t-\frac{1}{2}gt^2}$

$\Large{Y_{f}=(14.47\frac{m}{s})(2.20s)-\frac{1}{2}(9.8\frac{m}{s^2})(2.20s)^2=8.11m}$

Distancia desde la pared:

$\Large{D_{1}=8.11m-7m=1.11m}$

c) 

$\Large{Y_{f}=Y_{i}+v_{yi}.t-\frac{1}{2}gt^2}$

$\Large{6m=(14.47\frac{m}{s})t-\frac{1}{2}(9.8\frac{m}{s^2})t^2}$

Resolviendo la ecuación cuadrática:

$\Large{t_{1}=0.49s}$

$\Large{t_{2}=2.45s}$ 

(t2 es el tiempo que tarda en tocar el techo del edificio)

Buscamos la distancia horizontal recorrida:

$\Large{X_{f}=10.91\frac{m}{s}(2.45s)=26.72m}$

Distancia desde la pared:

$\Large{D_{2}=26.72m-24m=2.72m}$

Propagación de Errores

El radio de una esfera sólida uniforme mide (6,50 ± 0,20) cm y su masa es de (1,85 ± 0,02) kg. Determine la densidad de la esfera en kilogramos por metro cúbico y la incertidumbre (Error Absoluto) en la densidad.

Datos:

$ r = (6,50 \pm 0,20) \:cm $

$ m = (1,85 \pm 0,02) \:kg $

$ \overline{r} = 6,50 \:cm $

$ \overline{m} = 1,85 \:kg $

$ \Delta r = 0,20 \:cm $

$ \Delta m = 0,02 \:kg $

Resolución:

La densidad de la esfera se expresa de la siguiente manera:

$ \Large {\sigma = \overline{\sigma} \pm \Delta\sigma}$

La densidad de un cuerpo se define como la relación entre su masa y volumen, donde el volumen de la esfera es: 

$ \Large {V = \frac {4 \pi r^3}{3}}$

Por lo tanto:

$ \Large {\sigma = \frac {m}{v} =\frac {3m}{4\pi r^3}} $

De forma análoga podemos definir la ecuación de la densidad promedio, en función de su masa promedio y volumen promedio.

$ \Large {\overline{\sigma}=\frac{3\overline{m}}{4\pi \overline{r}^3}} $

Nos faltaría encontrar una ecuación para expresar el error en la medición:

$ \Large {\Delta \sigma = \frac{\partial \sigma}{\partial m} \Delta m + \frac{\partial \sigma}{\partial r} \Delta r} $

Donde:

$ \Large{\frac{\partial \sigma}{\partial m} = \frac {3}{4\pi \overline{r}^3}} $

$ \Large {\frac{\partial \sigma}{\partial r} = - \frac {9\overline{m}}{4 \pi \overline{r}^4}} $

Combinando:

$ \Large {\Delta \sigma = \frac {3}{4\pi \overline{r}^3} \Delta m - \frac {9\overline{m}}{4 \pi \overline{r}^4} \Delta r}$

Por lo tanto, se expresa la propagación del error para el cálculo de la densidad de una esfera de la siguiente manera:

$ \Large {\sigma = \frac{3\overline{m}}{4\pi \overline{r}^3} \pm (\frac {3}{4\pi \overline{r}^3} \Delta m - \frac {9\overline{m}}{4 \pi \overline{r}^4} \Delta r ) \;\;\;\;[kg/cm^3]}$

$ \Large {\sigma = \frac{3.(1,85kg)}{4\pi .(6,50cm)^3} \pm (\frac {3.(0,02kg)}{4\pi .(6,50cm)^3} - \frac {9.(1,85kg).(0,20cm)}{4 \pi .(6,50cm)^4})}$

Expresando el resultado en $ kg/m^3$

$ \Large{\sigma = (1600 \pm 130) \frac{kg}{m^3}} $