Propagación de Errores

El radio de una esfera sólida uniforme mide (6,50 ± 0,20) cm y su masa es de (1,85 ± 0,02) kg. Determine la densidad de la esfera en kilogramos por metro cúbico y la incertidumbre (Error Absoluto) en la densidad.

Datos:

$ r = (6,50 \pm 0,20) \:cm $

$ m = (1,85 \pm 0,02) \:kg $

$ \overline{r} = 6,50 \:cm $

$ \overline{m} = 1,85 \:kg $

$ \Delta r = 0,20 \:cm $

$ \Delta m = 0,02 \:kg $

Resolución:

La densidad de la esfera se expresa de la siguiente manera:

$ \Large {\sigma = \overline{\sigma} \pm \Delta\sigma}$

La densidad de un cuerpo se define como la relación entre su masa y volumen, donde el volumen de la esfera es: 

$ \Large {V = \frac {4 \pi r^3}{3}}$

Por lo tanto:

$ \Large {\sigma = \frac {m}{v} =\frac {3m}{4\pi r^3}} $

De forma análoga podemos definir la ecuación de la densidad promedio, en función de su masa promedio y volumen promedio.

$ \Large {\overline{\sigma}=\frac{3\overline{m}}{4\pi \overline{r}^3}} $

Nos faltaría encontrar una ecuación para expresar el error en la medición:

$ \Large {\Delta \sigma = \frac{\partial \sigma}{\partial m} \Delta m + \frac{\partial \sigma}{\partial r} \Delta r} $

Donde:

$ \Large{\frac{\partial \sigma}{\partial m} = \frac {3}{4\pi \overline{r}^3}} $

$ \Large {\frac{\partial \sigma}{\partial r} = - \frac {9\overline{m}}{4 \pi \overline{r}^4}} $

Combinando:

$ \Large {\Delta \sigma = \frac {3}{4\pi \overline{r}^3} \Delta m - \frac {9\overline{m}}{4 \pi \overline{r}^4} \Delta r}$

Por lo tanto, se expresa la propagación del error para el cálculo de la densidad de una esfera de la siguiente manera:

$ \Large {\sigma = \frac{3\overline{m}}{4\pi \overline{r}^3} \pm (\frac {3}{4\pi \overline{r}^3} \Delta m - \frac {9\overline{m}}{4 \pi \overline{r}^4} \Delta r ) \;\;\;\;[kg/cm^3]}$

$ \Large {\sigma = \frac{3.(1,85kg)}{4\pi .(6,50cm)^3} \pm (\frac {3.(0,02kg)}{4\pi .(6,50cm)^3} - \frac {9.(1,85kg).(0,20cm)}{4 \pi .(6,50cm)^4})}$

Expresando el resultado en $ kg/m^3$

$ \Large{\sigma = (1600 \pm 130) \frac{kg}{m^3}} $